当前位置: 主页 > 现状杂志 >二的平方根(The Square Root of Two) >

二的平方根(The Square Root of Two)

浏览量:256
点赞:497
时间:2020-06-16


二的平方根记作 $$\sqrt{2}$$,读作「根号二」。$$\sqrt{2}$$ 是一个代数式,而不是如 $$2$$、$$1.4142$$ 这样的数字。$$\sqrt{2}$$ 代表那个平方后会等于 $$2$$ 的正数,也代表一个面积为 $$2$$ 的正方形之边长;它是方程式 $$x^2=2$$ 的唯一正根。

为什幺我们不用数字去表现根号二而非要写成 $$\sqrt{2}$$ 呢?那是由于 $$\sqrt{2}$$ 无法写成整数、有限小数或无穷循环小数这样的数字,也不能写成分数。也就是说,$$\sqrt{2}$$ 不是有理数,它是无理数

在证明 $$\sqrt{2}$$ 为无理数之前,我们要先叙述并证明一个引理(Lemma)。

【引理】

令 $$n$$ 是一个正整数,则

$$n$$ 是偶数 $$\Longleftrightarrow n^2$$ 是偶数。

[证明]

$$\blacksquare$$正命题
假设 $$n$$ 为偶数,则根据偶数之定义,必有一整数 $$k$$ 使得 $$n=2k$$。而由于 $$n^2=(2k)^2=4k^2=2(2k^2)$$,则无论 $$k$$ 值为何,其结果必定为偶数,故得证。

$$\blacksquare$$逆命题
若 $$n^2$$ 为偶数且假设 $$n$$ 为奇数,则根据奇数之定义,必有一整数 $$k$$ 使得 $$n=2k+1$$。由于 $$n^2=(2k+1)^2=4k^2+2k+1=2(2k^2+k)+1$$,则无论 $$k$$ 值为何,$$n^2$$ 必定为奇数,但此与前提不符。由于所有的正整数不是偶数就是奇数,既然 $$n$$ 不是奇数,则 $$n$$ 必为偶数。

引理其实也是定理(Theorem),也就是经过证明,确保无误的一个数学命题。只是,相较而言,引理的内容较为辅助性,而定理的内容较为独立。定理和引理的分别,属于价值的判断而不是优劣或轻重的判断。

【定理】
不可能有互质的正整数 $$m$$、$$n$$,使得 $$\displaystyle\frac{n^2}{m^2}=2$$。

[证明]

如果 $$m$$、$$n$$ 是互质的正整数,但是 $$\displaystyle\frac{n^2}{m^2}=2$$,则 $$2m^2=n^2$$。可见 $$n^2$$ 是偶数。

根据引理,则 $$n$$ 必为偶数,所以存在一正整数 $$k$$ 使 $$n=2k$$。将之代回前式:

$$2m^2=n^2=(2k)^2=4k^2$$

化简为 $$m^2=2k^2$$,由此可知 $$m^2$$ 为偶数。再根据引理,则 $$m$$ 亦为偶数。

然此结论与前提不合──若 $$m$$ 与 $$n$$ 同为偶数,则 $$m$$ 与 $$n$$ 不可能互质。所以不可能有互质的正整数 $$m$$、$$n$$,使得 $$\displaystyle\frac{n^2}{m^2}=2$$。

所谓「$$\sqrt{2}$$ 是无理数」的意思就是「$$\sqrt{2}$$ 不是有理数」,也就是以下命题

$$\sqrt{2}=\displaystyle\frac{p}{q}$$ 且 $$p$$ 、$$q$$ 是正整数

 是不可能的(我们已经知道 $$\sqrt{2}>0$$ 而且不是整数)。已知分数能约分为最简分数,所以只需讨论分子与分母互质的分数即可。上述定理恰恰就说明了这个事实。所以,$$\sqrt{2}$$ 是无理数。

经过数学证明后,$$\sqrt{2}$$ 是无理数已成为一个无法拒绝的事实。但是否有同学仍然不服──在现实世界中,真的会存在一面积为 $$2$$ 的正方形吗?这个问题同样也能用几何的操作方法解释。首先我们可以先取得一个正方形磁砖,令其边长为 $$1$$,所以此正方形的面积为 $$1$$。

二的平方根(The Square Root of Two)

再拿一个同样的磁砖,并将两块拼在一起,就成为一个面积为 $$2$$ 的长方形了。

二的平方根(The Square Root of Two)

但这是个长方形而非我们所想要的正方形。因此接下来我们要作的是将这两个正方形分别依对角线裁切如下。

二的平方根(The Square Root of Two)

由于这是两个全等的正方形,我们可分别以他们的一边作拼贴,成为下面的样子。

二的平方根(The Square Root of Two)

这个新的正方形的边长皆由原本小正方形的对角线所构成;由于已知这块正方形的面积为 $$2$$,它的边长则将不可避免地为 $$\sqrt{2}$$。

向前连结:数学证明,有理数
向后连结:实数运算性质

上一篇: 下一篇: